Wahrscheinlichkeitserzeugende Fähigkeiten – Die besten Freunde des Casino-Besitzers

Stellen wir uns vor, Sie besitzen ein Casino und eines der beliebtesten Videospiele dort ist Craps. Beim Craps werden zwei normale Würfel geworfen, und es kommt auf die Gesamtpunktzahl der Würfel an, die zwischen 2 und 12 liegen kann. Sie möchten die Dinge bei Ihren Kunden aufpeppen und ihnen einige unterhaltsame Variationen ihres Lieblingsspiels bieten.

Eine Variante, die Sie in Betracht ziehen, besteht darin, ihnen die Möglichkeit zu geben, sich für alternative „voreingenommene“ Würfel zum Spielen zu entscheiden. Sie können beispielsweise einen Würfel mit den Zahlen 1, 2, 2, 4, 5, 6 und einen gewöhnlichen Würfel mit den Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 auswählen. Der potenzielle Punktebereich liegt immer noch zwischen 2 und 12, allerdings haben sich möglicherweise die Wahrscheinlichkeiten für einen bestimmten vollständigen Punktestand geändert, und als Online-Casino-Besitzer möchten Sie das wahrscheinlich wissen, um sicherzustellen, dass Sie nicht auf der Strecke bleiben auf den Chancen einer bestimmten Würfelwahl.

Lassen Sie mich Ihnen ein leistungsstarkes Tool vorstellen, mit dem Sie Probleme wie dieses lösen können – die Wahrscheinlichkeit, Leistung zu erbringen.

Was ist eine wahrscheinlichkeitserzeugende Leistung?

Sei X eine diskrete Zufallsvariable, beispielsweise das Ergebnis eines Würfelwurfs. Die glückserzeugende Funktion von Mathematisch geschrieben sieht es so aus:

Wenn also zum Beispiel

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionen haben eine Reihe aufmerksamkeitsstarker Eigenschaften. Nimmt man zunächst den Wert des Betriebs bei t = 0, erhält man P(X = 0), also:

Zweitens: Nimmt man den Wert der Operation zum Zeitpunkt t = 1, erhält man die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse, die tatsächlich gleich 1 ist, also:

Drittens können Sie P(X = okay) immer aus der Leistung ableiten, indem Sie k Instanzen differenzieren und dann t=0 setzen. Genauer gesagt:

Eine wichtige Konsequenz daraus ist, dass zwei Zufallsvariablen, wenn sie die gleiche Wahrscheinlichkeitsgenerierungsleistung haben, auch die gleiche Wahrscheinlichkeitsmassenleistung haben. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse gleich sind. Diese Tatsache wird für Sie als Online-Casino-Besitzer von entscheidender Bedeutung sein.

Viertens: Wie Sie auf der Grundlage der Wahrscheinlichkeitsgesetze erwarten würden, haben Sie wahrscheinlich zwei unabhängige Ereignisse mit Ergebnissen, die durch diskrete Zufallsvariablen dargestellt werden Produkt ihrer jeweiligen wahrscheinlichkeitsgenerierenden Merkmale. Also für unabhängige Zufallsvariablen X und Y:

Schauen Sie sich abschließend an, was passiert, wenn wir unsere Wahrscheinlichkeitsgenerierungsfunktion einmal differenzieren und t = 1 setzen:

Wir können also einfach den erwarteten Wert aus der Wahrscheinlichkeitsgenerierungsfunktion ableiten.

Wie hilft das also dabei, Ihre Würfel aufzupeppen?

Ok, also kehren wir zu unserer Wahrscheinlichkeitserzeugungsoperation für einen Standardwürfel mit 1, 2, 3, 4, 5, 6 zurück und faktorisieren ihn in das Produkt einiger einfacherer Polynome, damit wir später damit herumspielen:

Nun umfasst ein alltägliches Krabbenspiel die Summe des Wurfs zweier normaler Würfel, die beide unabhängige Zufallsvariablen sind, sodass unser Zufallsgewinn für die Summe des Wurfs zweier normaler Würfel erhalten wird, weil das Quadrat der Wahrscheinlichkeitserzeugungsfunktion für einen einzelnen regulären Würfel:

Nachdem wir nun unsere Zufallsgenerierungsfunktion für die Summe eines Wurfs mit zwei regulären Würfeln haben, fragen wir uns, ob es andere Möglichkeiten gibt, diese Funktion zu zerlegen. Eine Möglichkeit, wie wir sie zerlegen könnten, könnten zwei neue gültige Wahrscheinlichkeitsmerkmale sein, deren Produkt genau identisch ist, zum Beispiel:

Beachten Sie vor allem, dass die folgenden Situationen mit diesen Funktionen zufrieden sein werden:

Lassen Sie uns nun unsere neuen Funktionen erweitern und sehen, ob sie uns helfen könnten, zwei völlig unterschiedliche Würfel zu entdecken, die wir sicher in unserem aufgepeppten Krabbenspiel verwenden könnten. Wenn wir unsere erste neue Funktion erweitern, erhalten wir:

Dies ist eine erzeugende Funktion für einen Würfel mit den Seiten 1, 2, 2, 3, 3, 4.

Für unsere zweite Operation erhalten wir:

Dies ist eine produzierende Funktion für einen Würfel mit den Seiten 1, 3, 4, 5, 6, 8.

So kann unser Online-Casino-Besitzer seinen Interessenten sicher ein weiteres Würfelpaar mit der Aufschrift 1, 2, 2, 3, 3, 4 und 1, 3, 4, 5, 6, 8 anbieten, ohne die Gewinnchancen des Spiels zu verändern.

Ein weiteres Beispiel

Stellen Sie sich vor, wir haben jetzt ein Spiel, bei dem es um die Summe der Würfe zweier tetraedrischer Würfel geht, die die Zahlen 1, 2, 3, 4 haben (wobei das Endergebnis die Zahl ist, die nicht sichtbar ist). Die zufallserzeugende Funktion für diese Zufallsvariable ist:

Für zwei gleiche tetraedrische Würfel würde die Summe also folgendermaßen aussehen:

Eine alternative Zerlegung in zwei legitime Zufallsfunktionen ist:

Wenn wir diese erhöhen, wird sich herausstellen, dass unsere Würfel durchaus durch zwei Würfel mit den Zahlen 1, 2, 2, 3 und 1, 3, 3, 5 ersetzt werden können, ohne dass dies Auswirkungen auf die Gewinnchancen des Spiels hat.

Besonderer Dank geht an Archie Smith, der mir ein Problem geschickt hat, das zu diesem Artikel inspiriert hat. Falls Sie einen Teil dieses Artikels interessant finden, freuen wir uns über einen Kommentar.